导数求函数最大值和最小值

<>求最大值和最小值

求 f ( x ) f(x) f(x)在 [ a , b ] [a,b] [a,b]上最大值和最小值的方法：

* 求出所有驻点和不可导点 x 1 , x 2 , x 3 … x_1,x_2,x_3\dots x1​,x2​,x3​…
* 计算 f ( x 1 ) , f ( x 2 ) , f ( x 3 ) … f(x_1),f(x_2),f(x_3)\dots f(x1​),f(x2
​),f(x3​)…和 f ( a ) , f ( b ) f(a),f(b) f(a),f(b)的值
* 比较大小

<>例1

求 f ( x ) = ( x − 5 ) x 2 3 f(x)=(x-5)\sqrt[3]{x^2} f(x)=(x−5)3x2 ​在 [ − 2 , 3
] [-2,3][−2,3]上的最值

解： f ′ ( x ) = x 2 3 + 2 3 ( x − 5 ) 1 x 3 = 5 ( x − 2 ) 3 x 3
f'(x)=\sqrt[3]{x^2}+\dfrac
23(x-5)\dfrac{1}{\sqrt[3]{x}}=\dfrac{5(x-2)}{3\sqrt[3]{x}}f′(x)=3x2 ​+32​(x−5)3x
​1​=33x ​5(x−2)​

可能极值点： x 1 = 0 , x 2 = 2 x_1=0,x_2=2 x1​=0,x2​=2

f ( 0 ) = 0 , f ( 2 ) = − 3 4 3 , f ( − 2 ) = − 7 4 3 , f ( 3 ) = − 2 9 3
f(0)=0,f(2)=-3\sqrt[3]4,f(-2)=-7\sqrt[3]4,f(3)=-2\sqrt[3]9f(0)=0,f(2)=−334 ​,f(−
2)=−734 ​,f(3)=−239 ​

所以最大值为 0 0 0，最小值为 − 7 4 3 -7\sqrt[3]4 −734 ​

<>例2

函数 f ( x ) = 1 3 x 3 − 2 x 2 + 5 f(x)=\dfrac 13x^3-2x^2+5 f(x)=31​x3−2x2+5在 [
− 2 , 2 ] [-2,2][−2,2]的最大值为 ‾ \underline{\qquad} ​

解： f ′ ( x ) = x 2 − 4 x = x ( x − 4 ) f'(x)=x^2-4x=x(x-4) f′(x)=x2−4x=x(x−4)

可能的极值点： x 1 = 0 , x 2 = 4 x_1=0,x_2=4 x1​=0,x2​=4

f ( 0 ) = 5 , f ( 4 ) = − 17 3 , f ( − 2 ) = − 17 3 , f ( 2 ) = − 1 3
f(0)=5,f(4)=-\dfrac{17}{3},f(-2)=-\dfrac{17}{3},f(2)=-\dfrac 13f(0)=5,f(4)=−317​
,f(−2)=−317​,f(2)=−31​
所以最大值为 5 5 5

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