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什么是时间复杂度？
我们先看看一些函数的渐近表达式：
关于时间复杂度的基本要点：
1.时间复杂度反映的是随着问题规模的变大，计算所需的时间的增长速度，与系数的多少关系不大
2.算法的渐近时间复杂度，简称时间复杂度，很多时候为了便于理解，直接把时间复杂度等同于O（）是可以的。
3.常见的时间复杂度，及其增长速度比较
O(1)＜O(log n)＜O(n)＜O(nlog n)＜O(n^2)＜O(n^3)< O(2^n)＜O(n!)＜O(n^n)
可以这么说,看到这里就已经基本掌握时间复杂度的概念了，对于分析常见时间复杂度问题是没问题的
当然，若想深入了解这块知识，请参考课本及其他博客，并耐心地看完下面的内容
（阅读时请结合例子理解）
一、大O记号(渐近上界记号)
定义1-1
设函数f(n)和g(n)是定义在非负整数集合上的正函数，如果存在两个正常数c和n0，使得当n≥n0时，有f(n)≤cg(n)，则记做f(n) =
O(g(n))，称为大O记号（big Oh notation） 称g(n)是f(n)的一个上界 注： f(n)的阶不高于g(n)
例1-1 f(n) = 2n + 3 = O(n)
当n≥3时，2n+3≤3n，
所以，可选c = 3，n0 = 3。对于n≥n0，f(n) = 2n + 3≤3n，
所以， f(n) = O(n) 。这意味着，当n≥3时，该程序步不会超过3n。
例1-2 f(n) = 10n2 + 4n + 2 = O(n2)
对于n≥2时，有10n2 + 4n + 2≤10n2 + 5n，
并且当n≥5时，5n≤n2， 因此，可选c = 11, n0 = 5；
对于n≥n0，f(n) = 10n2 + 4n + 2≤11n2， 所以f(n) = O(n2)。
例1-3 10n2 + 9 ！=O(n)
使用反证法，假定存在c和n0，使得对于n≥n0，10n2 + 9≤cn始终成立，
那么有10n + 9/n≤c，即n≤c/10 - 9/(10n)总成立。
但此不等式不可能总成立，取n = c/10 + 1时，该不等式便不再成立。
重要定理
渐近时间复杂度
使用大O记号及下面定义的几种渐近表示法表示的算法时间复杂度，
称为算法的渐近时间复杂度（asymptotic complexity），简称时间复杂度
适当选择关键操作，算法的渐近时间复杂度可以由关键操作的执行次数之和来计算
一般地，关键操作的执行次数与问题的规模有关，是n的函数
【程序1-4】 矩阵乘法
for（i=0; i<n; i++） //n+1 for（j=0; j<n; j++）{ //n(n+1) c[i][j]=0; //n2 for（k=0;
k<n; k++） //n2(n+1) c[i][j]+=a[i][k]*b[k][j]; //n3 }
总的时间： n3+ n2(n+1)+ n2+ n(n+1)+ n+1 =2n3+3n2+2n+1 渐进时间复杂度：O(n3)
大O运算规则:
(1) O(f)+O(g)=O(max(f, g))
(2) O(f)+O(g)=O(f+g)
(3) O(f)O(g)=O(fg)
(4) 如果g(N)=O(f(N)), 则O(f)+O(g)=O(f)
(5) O(Cf(N))=O(f(N)), 其中C是一个正常数
(6) f=O(f)
二、Ω记号(渐近下界记号)
定义2-2 设有函数f(n)和g(n)是定义在非负整数集合上的正函数，如果存在两个正常数 c和n0，使得当n≥n0时，有f(n)≥c
g(n)，则记做f(n) = Ω (g(n))，称为Ω记号（omega notation）。 注： f(n)的阶不低于g(n)
（Ω的相关概念实际上就是O（n）颠倒过来）
例1-5 f(n) = 2n + 3 =Ω(n)
对所有n，2n+3≥2n，可选c = 2，n0=0。
对于n≥n0，f(n) = 2n+3≥2n，所以，f(n) = Ω(n)，即2n + 3∈Ω(n)。
例1-6 f(n) = 10n2 + 4n + 2 = Ω(n2)
对所有n，10n2 + 4n + 2≥10n2，可选c = 10，n0 = 0。
对于n≥n0，f(n) = 10n2 + 4n + 2≥10n2，所以，f(n) =Ω(n^2)。
重要定理
三、 θ记号（紧渐近界记号）
定义1-3 设有函数f(n)和g(n)是定义在非负整数集合上的正函数，如果存在正常数c1，c2和n0，使得当n≥n0时，有c1 g(n)≤f(n)≤c2
g(n)，则记做f(n) = θ(g(n))，称为θ记号（Theta notation）。 注：此时f(n)和g(n)同阶
例1-7 f(n) = 2n + 3 = θ(n)
例1-8 f(n) = 10n2 + 4n + 2 = θ(n^2)
四、算法按时间复杂度分类
多项式时间算法
凡渐近时间复杂度有多项式时间限界的算法称做多项式时间算法（polynomial time algorithm）
O(1)＜O(log n)＜O(n)＜O(nlog n)＜O(n^2)＜O(n^3)
指数时间算法
渐近时间复杂度为指数函数限界的算法称做指数时间算法（exponential time algorithm）
O(2^n)＜O(n!)＜O(n^n)
时间复杂度增长示意图
判断时间复杂度是否为准确值相关定理
如果存在正常数n0, 使得当n≥n0时有f(n)>0, g(n)>0
并且 则f(n)=O(g(n))
如果存在正常数n0, 使得当n≥n0时有f(n)>0, g(n)>0
并且 则f(n)=θ(g(n))
书上相关例题参考答案：