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快速排序算法模板 —— 模板题 AcWing 785. 快速排序
void quick_sort(int q[], int l, int r) { if (l >= r) return; int i = l
- 1, j = r + 1, x = q[l + r >> 1]; while (i < j) { do i ++ ;
while (q[i] < x); do j -- ; while (q[j] > x); if (i < j)
swap(q[i], q[j]); } quick_sort(q, l, j), quick_sort(q, j + 1, r); }
归并排序算法模板 —— 模板题 AcWing 787. 归并排序
void merge_sort(int q[], int l, int r) { if (l >= r) return; int mid =
l + r >> 1; merge_sort(q, l, mid); merge_sort(q, mid + 1, r); int k
= 0, i = l, j = mid + 1; while (i <= mid && j <= r) if (q[i] <=
q[j]) tmp[k ++ ] = q[i ++ ]; else tmp[k ++ ] = q[j ++ ]; while (i
<= mid) tmp[k ++ ] = q[i ++ ]; while (j <= r) tmp[k ++ ] = q[j ++ ];
for (i = l, j = 0; i <= r; i ++, j ++ ) q[i] = tmp[j]; }
整数二分算法模板 —— 模板题 AcWing 789. 数的范围
bool check(int x) {/* ... */} // 检查x是否满足某种性质 // 区间[l, r]被划分成[l, mid]和[mid + 1,
r]时使用： int bsearch_1(int l, int r) { while (l < r) { int mid =
l + r >> 1; if (check(mid)) r = mid; // check()判断mid是否满足性质
else l = mid + 1; } return l; }
// 区间[l, r]被划分成[l, mid - 1]和[mid, r]时使用：
int bsearch_2(int l, int r) { while (l < r) { int mid = l + r
+ 1 >> 1; if (check(mid)) l = mid; else r = mid - 1; }
return l; }
浮点数二分算法模板 —— 模板题 AcWing 790. 数的三次方根
bool check(double x) {/* ... */} // 检查x是否满足某种性质 double bsearch_3(double l,
double r) { const double eps = 1e-6; // eps 表示精度，取决于题目对精度的要求 while (r
- l > eps) { double mid = (l + r) / 2; if (check(mid)) r =
mid; else l = mid; } return l; }
高精度加法 —— 模板题 AcWing 791. 高精度加法
// C = A + B, A >= 0, B >= 0 vector<int> add(vector<int> &A, vector<int> &B) {
if (A.size() < B.size()) return add(B, A); vector<int> C; int t =
0; for (int i = 0; i < A.size(); i ++ ) { t += A[i]; if
(i < B.size()) t += B[i]; C.push_back(t % 10); t /= 10; }
if (t) C.push_back(t); return C; }
高精度减法 —— 模板题 AcWing 792. 高精度减法
// C = A - B, 满足A >= B, A >= 0, B >= 0 vector<int> sub(vector<int> &A,
vector<int> &B) { vector<int> C; for (int i = 0, t = 0; i < A.size(); i
++ ) { t = A[i] - t; if (i < B.size()) t -= B[i];
C.push_back((t + 10) % 10); if (t < 0) t = 1; else t =
0; } while (C.size() > 1 && C.back() == 0) C.pop_back(); return C; }
高精度乘低精度 —— 模板题 AcWing 793. 高精度乘法
// C = A * b, A >= 0, b >= 0 vector<int> mul(vector<int> &A, int b) {
vector<int> C; int t = 0; for (int i = 0; i < A.size() || t; i ++ )
{ if (i < A.size()) t += A[i] * b; C.push_back(t % 10);
t /= 10; } while (C.size() > 1 && C.back() == 0) C.pop_back();
return C; }
高精度除以低精度 —— 模板题 AcWing 794. 高精度除法
// A / b = C ... r, A >= 0, b > 0 vector<int> div(vector<int> &A, int b, int
&r) { vector<int> C; r = 0; for (int i = A.size() - 1; i >= 0; i --
) { r = r * 10 + A[i]; C.push_back(r / b); r %= b;
} reverse(C.begin(), C.end()); while (C.size() > 1 && C.back() ==
0) C.pop_back(); return C; }
一维前缀和 —— 模板题 AcWing 795. 前缀和
S[i] = a[1] + a[2] + ... a[i]
a[l] + ... + a[r] = S[r] - S[l - 1]
二维前缀和 —— 模板题 AcWing 796. 子矩阵的和
S[i, j] = 第i行j列格子左上部分所有元素的和
以(x1, y1)为左上角，(x2, y2)为右下角的子矩阵的和为：
S[x2, y2] - S[x1 - 1, y2] - S[x2, y1 - 1] + S[x1 - 1, y1 - 1]
一维差分 —— 模板题 AcWing 797. 差分
给区间[l, r]中的每个数加上c：B[l] += c, B[r + 1] -= c
二维差分 —— 模板题 AcWing 798. 差分矩阵
给以(x1, y1)为左上角，(x2, y2)为右下角的子矩阵中的所有元素加上c：
S[x1, y1] += c, S[x2 + 1, y1] -= c, S[x1, y2 + 1] -= c, S[x2 + 1, y2 + 1] += c
位运算 —— 模板题 AcWing 801. 二进制中1的个数
求n的第k位数字: n >> k & 1
返回n的最后一位1：lowbit(n) = n & -n
双指针算法 —— 模板题 AcWIng 799. 最长连续不重复子序列, AcWing 800. 数组元素的目标和
for (int i = 0, j = 0; i < n; i ++ ) { while (j < i && check(i, j)) j ++ ;
// 具体问题的逻辑 }
常见问题分类：
(1) 对于一个序列，用两个指针维护一段区间
(2) 对于两个序列，维护某种次序，比如归并排序中合并两个有序序列的操作
离散化 —— 模板题 AcWing 802. 区间和
vector<int> alls; // 存储所有待离散化的值 sort(alls.begin(), alls.end()); // 将所有值排序
alls.erase(unique(alls.begin(), alls.end()), alls.end()); // 去掉重复元素 //
二分求出x对应的离散化的值 int find(int x) // 找到第一个大于等于x的位置 { int l = 0, r = alls.size()
- 1; while (l < r) { int mid = l + r >> 1; if
(alls[mid] >= x) r = mid; else l = mid + 1; } return r + 1; //
映射到1, 2, ...n }
区间合并 —— 模板题 AcWing 803. 区间合并
// 将所有存在交集的区间合并 void merge(vector<PII> &segs) { vector<PII> res;
sort(segs.begin(), segs.end()); int st = -2e9, ed = -2e9; for (auto
seg : segs) if (ed < seg.first) { if (st != -2e9)
res.push_back({st, ed}); st = seg.first, ed = seg.second; }
else ed = max(ed, seg.second); if (st != -2e9) res.push_back({st,
ed}); segs = res; }
单链表 —— 模板题 AcWing 826. 单链表
// head存储链表头，e[]存储节点的值，ne[]存储节点的next指针，idx表示当前用到了哪个节点 int head, e[N], ne[N],
idx; // 初始化 void init() { head = -1; idx = 0; } // 在链表头插入一个数a void
insert(int a) { e[idx] = a, ne[idx] = head, head = idx ++ ; } //
将头结点删除，需要保证头结点存在 void remove() { head = ne[head]; }
双链表 —— 模板题 AcWing 827. 双链表
// e[]表示节点的值，l[]表示节点的左指针，r[]表示节点的右指针，idx表示当前用到了哪个节点 int e[N], l[N], r[N], idx;
// 初始化 void init() { //0是左端点，1是右端点 r[0] = 1, l[1] = 0; idx = 2; }
// 在节点a的右边插入一个数x void insert(int a, int x) { e[idx] = x; l[idx] = a,
r[idx] = r[a]; l[r[a]] = idx, r[a] = idx ++ ; } // 删除节点a void remove(int a)
{ l[r[a]] = l[a]; r[l[a]] = r[a]; }
栈 —— 模板题 AcWing 828. 模拟栈
// tt表示栈顶 int stk[N], tt = 0; // 向栈顶插入一个数 stk[ ++ tt] = x; // 从栈顶弹出一个数 tt -- ;
// 栈顶的值 stk[tt]; // 判断栈是否为空，如果 tt > 0，则表示不为空 if (tt > 0) { }
队列 —— 模板题 AcWing 829. 模拟队列
1. 普通队列：
// hh 表示队头，tt表示队尾 int q[N], hh = 0, tt = -1; // 向队尾插入一个数 q[ ++ tt] = x; //
从队头弹出一个数 hh ++ ; // 队头的值 q[hh]; // 判断队列是否为空，如果 hh <= tt，则表示不为空 if (hh <= tt) { }
2. 循环队列
// hh 表示队头，tt表示队尾的后一个位置 int q[N], hh = 0, tt = 0; // 向队尾插入一个数 q[tt ++ ] = x;
if (tt == N) tt = 0; // 从队头弹出一个数 hh ++ ; if (hh == N) hh = 0; // 队头的值 q[hh]; //
判断队列是否为空，如果hh != tt，则表示不为空 if (hh != tt) { }
单调栈 —— 模板题 AcWing 830. 单调栈
常见模型：找出每个数左边离它最近的比它大/小的数
int tt = 0; for (int i = 1; i <= n; i ++ ) { while (tt && check(stk[tt],
i)) tt -- ; stk[ ++ tt] = i; }
单调队列 —— 模板题 AcWing 154. 滑动窗口
常见模型：找出滑动窗口中的最大值/最小值
int hh = 0, tt = -1; for (int i = 0; i < n; i ++ ) { while (hh <= tt &&
check_out(q[hh])) hh ++ ; // 判断队头是否滑出窗口 while (hh <= tt && check(q[tt],
i)) tt -- ; q[ ++ tt] = i; }
KMP —— 模板题 AcWing 831. KMP字符串
// s[]是长文本，p[]是模式串，n是s的长度，m是p的长度
求模式串的Next数组：
for (int i = 2, j = 0; i <= m; i ++ ) { while (j && p[i] != p[j + 1]) j =
ne[j]; if (p[i] == p[j + 1]) j ++ ; ne[i] = j; } // 匹配 for (int i = 1,
j = 0; i <= n; i ++ ) { while (j && s[i] != p[j + 1]) j = ne[j]; if
(s[i] == p[j + 1]) j ++ ; if (j == m) { j = ne[j]; //
匹配成功后的逻辑 } }
Trie树 —— 模板题 AcWing 835. Trie字符串统计
int son[N][26], cnt[N], idx; // 0号点既是根节点，又是空节点 // son[][]存储树中每个节点的子节点 //
cnt[]存储以每个节点结尾的单词数量 // 插入一个字符串 void insert(char *str) { int p = 0; for
(int i = 0; str[i]; i ++ ) { int u = str[i] - 'a'; if
(!son[p][u]) son[p][u] = ++ idx; p = son[p][u]; } cnt[p] ++ ; }
// 查询字符串出现的次数 int query(char *str) { int p = 0; for (int i = 0; str[i];
i ++ ) { int u = str[i] - 'a'; if (!son[p][u]) return 0;
p = son[p][u]; } return cnt[p]; }
并查集 —— 模板题 AcWing 836. 合并集合, AcWing 837. 连通块中点的数量
(1)朴素并查集：
int p[N]; //存储每个点的祖宗节点 // 返回x的祖宗节点 int find(int x) { if (p[x] != x) p[x] =
find(p[x]); return p[x]; } // 初始化，假定节点编号是1~n for (int i = 1; i <= n; i ++ )
p[i] = i; // 合并a和b所在的两个集合： p[find(a)] = find(b);
(2)维护size的并查集：
int p[N], size[N]; //p[]存储每个点的祖宗节点, size[]只有祖宗节点的有意义，表示祖宗节点所在集合中的点的数量
// 返回x的祖宗节点 int find(int x) { if (p[x] != x) p[x] =
find(p[x]); return p[x]; } // 初始化，假定节点编号是1~n for (int i =
1; i <= n; i ++ ) { p[i] = i; size[i] = 1; } //
合并a和b所在的两个集合： size[find(b)] += size[find(a)]; p[find(a)] = find(b);
(3)维护到祖宗节点距离的并查集：
int p[N], d[N]; //p[]存储每个点的祖宗节点, d[x]存储x到p[x]的距离 // 返回x的祖宗节点
int find(int x) { if (p[x] != x) { int u =
find(p[x]); d[x] += d[p[x]]; p[x] = u; }
return p[x]; } // 初始化，假定节点编号是1~n for (int i = 1; i <= n; i
++ ) { p[i] = i; d[i] = 0; } // 合并a和b所在的两个集合：
p[find(a)] = find(b); d[find(a)] = distance; // 根据具体问题，初始化find(a)的偏移量
堆 —— 模板题 AcWing 838. 堆排序, AcWing 839. 模拟堆
// h[N]存储堆中的值, h[1]是堆顶，x的左儿子是2x, 右儿子是2x + 1 // ph[k]存储第k个插入的点在堆中的位置 //
hp[k]存储堆中下标是k的点是第几个插入的 int h[N], ph[N], hp[N], size; // 交换两个点，及其映射关系 void
heap_swap(int a, int b) { swap(ph[hp[a]],ph[hp[b]]); swap(hp[a],
hp[b]); swap(h[a], h[b]); } void down(int u) { int t = u; if (u * 2
<= size && h[u * 2] < h[t]) t = u * 2; if (u * 2 + 1 <= size && h[u * 2 +
1] < h[t]) t = u * 2 + 1; if (u != t) { heap_swap(u, t);
down(t); } } void up(int u) { while (u / 2 && h[u] < h[u / 2])
{ heap_swap(u, u / 2); u >>= 1; } } // O(n)建堆 for (int
i = n / 2; i; i -- ) down(i);
一般哈希 —— 模板题 AcWing 840. 模拟散列表
(1) 拉链法
int h[N], e[N], ne[N], idx; // 向哈希表中插入一个数 void insert(int x) {
int k = (x % N + N) % N; e[idx] = x; ne[idx] = h[k];
h[k] = idx ++ ; } // 在哈希表中查询某个数是否存在 bool find(int x) {
int k = (x % N + N) % N; for (int i = h[k]; i != -1; i = ne[i])
if (e[i] == x) return true; return false;
}
(2) 开放寻址法
int h[N]; // 如果x在哈希表中，返回x的下标；如果x不在哈希表中，返回x应该插入的位置 int find(int x)
{ int t = (x % N + N) % N; while (h[t] != null && h[t] !=
x) { t++ ; if (t == N) t = 0; }
return t; }
字符串哈希 —— 模板题 AcWing 841. 字符串哈希
核心思想：将字符串看成P进制数，P的经验值是131或13331，取这两个值的冲突概率低
小技巧：取模的数用2^64，这样直接用unsigned long long存储，溢出的结果就是取模的结果
typedef unsigned long long ULL; ULL h[N], p[N]; // h[k]存储字符串前k个字母的哈希值, p[k]存储
P^k mod 2^64 // 初始化 p[0] = 1; for (int i = 1; i <= n; i ++ ) { h[i] = h[i -
1] * P + str[i]; p[i] = p[i - 1] * P; } // 计算子串 str[l ~ r] 的哈希值 ULL get(int
l, int r) { return h[r] - h[l - 1] * p[r - l + 1]; }
C++ STL简介
vector, 变长数组，倍增的思想 size() 返回元素个数 empty() 返回是否为空 clear() 清空
front()/back() push_back()/pop_back() begin()/end() 支持比较运算，按字典序
pair<int, int> first, 第一个元素 second, 第二个元素
支持比较运算，以first为第一关键字，以second为第二关键字（字典序） string，字符串 size()/length()
返回字符串长度 empty() clear() substr(起始下标，(子串长度)) 返回子串 c_str()
返回字符串所在字符数组的起始地址 queue, 队列 size() empty() push() 向队尾插入一个元素
front() 返回队头元素 back() 返回队尾元素 pop() 弹出队头元素 priority_queue,
优先队列，默认是大根堆 size() empty() push() 插入一个元素 top() 返回堆顶元素
pop() 弹出堆顶元素 定义成小根堆的方式：priority_queue<int, vector<int>, greater<int>>
q; stack, 栈 size() empty() push() 向栈顶插入一个元素 top() 返回栈顶元素
pop() 弹出栈顶元素 deque, 双端队列 size() empty() clear()
front()/back() push_back()/pop_back() push_front()/pop_front()
begin()/end() set, map, multiset, multimap, 基于平衡二叉树（红黑树），动态维护有序序列
size() empty() clear() begin()/end() ++, -- 返回前驱和后继，时间复杂度
O(logn) set/multiset insert() 插入一个数 find() 查找一个数
count() 返回某一个数的个数 erase() (1) 输入是一个数x，删除所有x O(k
+ logn) (2) 输入一个迭代器，删除这个迭代器 lower_bound()/upper_bound()
lower_bound(x) 返回大于等于x的最小的数的迭代器 upper_bound(x)
返回大于x的最小的数的迭代器 map/multimap insert() 插入的数是一个pair erase()
输入的参数是pair或者迭代器 find() 注意multimap不支持此操作。 时间复杂度是 O(logn)
lower_bound()/upper_bound() unordered_set, unordered_map,
unordered_multiset, unordered_multimap, 哈希表 和上面类似，增删改查的时间复杂度是 O(1) 不支持
lower_bound()/upper_bound()， 迭代器的++，-- bitset, 圧位 bitset<10000> s; ~,
&, |, ^ >>, << ==, != count() 返回有多少个1 any() 判断是否至少有一个1
none() 判断是否全为0 set() 把所有位置成1 set(k, v) 将第k位变成v reset() 把所有位变成0
flip() 等价于~ flip(k) 把第k位取反
树与图的存储
树是一种特殊的图，与图的存储方式相同。
对于无向图中的边ab，存储两条有向边a->b, b->a。
因此我们可以只考虑有向图的存储。
(1) 邻接矩阵：g[a][b] 存储边a->b
(2) 邻接表：
// 对于每个点k，开一个单链表，存储k所有可以走到的点。h[k]存储这个单链表的头结点 int h[N], e[N], ne[N], idx; //
添加一条边a->b void add(int a, int b) { e[idx] = b, ne[idx] = h[a], h[a] = idx
++ ; } // 初始化 idx = 0; memset(h, -1, sizeof h);
树与图的遍历
时间复杂度 O(n+m)
n表示点数，m表示边数
(1) 深度优先遍历 —— 模板题 AcWing 846. 树的重心
int dfs(int u) { st[u] = true; // st[u] 表示点u已经被遍历过 for (int i = h[u]; i != -1;
i = ne[i]) { int j = e[i]; if (!st[j]) dfs(j); } }
(2) 宽度优先遍历 —— 模板题 AcWing 847. 图中点的层次
queue<int> q; st[1] = true; // 表示1号点已经被遍历过 q.push(1); while (q.size()) { int t
= q.front(); q.pop(); for (int i = h[t]; i != -1; i = ne[i]) { int j = e[i]; if
(!st[j]) { st[j] = true; // 表示点j已经被遍历过 q.push(j); } } }
拓扑排序 —— 模板题 AcWing 848. 有向图的拓扑序列
时间复杂度 O(n+m)
n表示点数，m表示边数
bool topsort() { int hh = 0, tt = -1; // d[i] 存储点i的入度 for (int i = 1; i <= n;
i ++ ) if (!d[i]) q[ ++ tt] = i; while (hh <= tt) { int t = q[hh ++ ]; for (int
i = h[t]; i != -1; i = ne[i]) { int j = e[i]; if (-- d[j] == 0) q[ ++ tt] = j;
} } // 如果所有点都入队了，说明存在拓扑序列；否则不存在拓扑序列。 return tt == n - 1; }
朴素dijkstra算法 —— 模板题 AcWing 849. Dijkstra求最短路 I
时间复杂是 O(n2+m)
n表示点数，m表示边数
int g[N][N]; // 存储每条边 int dist[N]; // 存储1号点到每个点的最短距离 bool st[N]; //
存储每个点的最短路是否已经确定 // 求1号点到n号点的最短路，如果不存在则返回-1 int dijkstra() { memset(dist, 0x3f,
sizeof dist); dist[1] = 0; for (int i = 0; i < n - 1; i ++ ) { int t = -1; //
在还未确定最短路的点中，寻找距离最小的点 for (int j = 1; j <= n; j ++ ) if (!st[j] && (t == -1 ||
dist[t] > dist[j])) t = j; // 用t更新其他点的距离 for (int j = 1; j <= n; j ++ ) dist[j]
= min(dist[j], dist[t] + g[t][j]); st[t] = true; } if (dist[n] == 0x3f3f3f3f)
return -1; return dist[n]; }
堆优化版dijkstra —— 模板题 AcWing 850. Dijkstra求最短路 II
时间复杂度 O(mlogn)
n表示点数，m 表示边数
typedef pair<int, int> PII; int n; // 点的数量 int h[N], w[N], e[N], ne[N], idx;
// 邻接表存储所有边 int dist[N]; // 存储所有点到1号点的距离 bool st[N]; // 存储每个点的最短距离是否已确定 //
求1号点到n号点的最短距离，如果不存在，则返回-1 int dijkstra() { memset(dist, 0x3f, sizeof dist);
dist[1] = 0; priority_queue<PII, vector<PII>, greater<PII>> heap; heap.push({0,
1}); // first存储距离，second存储节点编号 while (heap.size()) { auto t = heap.top();
heap.pop(); int ver = t.second, distance = t.first; if (st[ver]) continue;
st[ver] = true; for (int i = h[ver]; i != -1; i = ne[i]) { int j = e[i]; if
(dist[j] > distance + w[i]) { dist[j] = distance + w[i]; heap.push({dist[j],
j}); } } } if (dist[n] == 0x3f3f3f3f) return -1; return dist[n]; }
Bellman-Ford算法 —— 模板题 AcWing 853. 有边数限制的最短路
时间复杂度 O(nm)
n表示点数，m表示边数
注意在模板题中需要对下面的模板稍作修改，加上备份数组，详情见模板题。
int n, m; // n表示点数，m表示边数 int dist[N]; // dist[x]存储1到x的最短路距离 struct Edge //
边，a表示出点，b表示入点，w表示边的权重 { int a, b, w; }edges[M]; // 求1到n的最短路距离，如果无法从1走到n，则返回-1。
int bellman_ford() { memset(dist, 0x3f, sizeof dist); dist[1] = 0; //
如果第n次迭代仍然会松弛三角不等式，就说明存在一条长度是n+1的最短路径，由抽屉原理，路径中至少存在两个相同的点，说明图中存在负权回路。 for (int i
= 0; i < n; i ++ ) { for (int j = 0; j < m; j ++ ) { int a = edges[j].a, b =
edges[j].b, w = edges[j].w; if (dist[b] > dist[a] + w) dist[b] = dist[a] + w; }
} if (dist[n] > 0x3f3f3f3f / 2) return -1; return dist[n]; }
spfa 算法（队列优化的Bellman-Ford算法） —— 模板题 AcWing 851. spfa求最短路
时间复杂度 平均情况下 O(m)，最坏情况下 O(nm), n表示点数，m表示边数
int n; // 总点数 int h[N], w[N], e[N], ne[N], idx; // 邻接表存储所有边 int dist[N]; //
存储每个点到1号点的最短距离 bool st[N]; // 存储每个点是否在队列中 // 求1号点到n号点的最短路距离，如果从1号点无法走到n号点则返回-1
int spfa() { memset(dist, 0x3f, sizeof dist); dist[1] = 0; queue<int> q;
q.push(1); st[1] = true; while (q.size()) { auto t = q.front(); q.pop(); st[t]
= false; for (int i = h[t]; i != -1; i = ne[i]) { int j = e[i]; if (dist[j] >
dist[t] + w[i]) { dist[j] = dist[t] + w[i]; if (!st[j]) // 如果队列中已存在j，则不需要将j重复插入
{ q.push(j); st[j] = true; } } } } if (dist[n] == 0x3f3f3f3f) return -1; return
dist[n]; }
spfa判断图中是否存在负环 —— 模板题 AcWing 852. spfa判断负环
时间复杂度是 O(nm), n表示点数，m表示边数
int n; // 总点数 int h[N], w[N], e[N], ne[N], idx; // 邻接表存储所有边 int dist[N],
cnt[N]; // dist[x]存储1号点到x的最短距离，cnt[x]存储1到x的最短路中经过的点数 bool st[N]; // 存储每个点是否在队列中
// 如果存在负环，则返回true，否则返回false。 bool spfa() { // 不需要初始化dist数组 //
原理：如果某条最短路径上有n个点（除了自己），那么加上自己之后一共有n+1个点，由抽屉原理一定有两个点相同，所以存在环。 queue<int> q; for
(int i = 1; i <= n; i ++ ) { q.push(i); st[i] = true; } while (q.size()) { auto
t = q.front(); q.pop(); st[t] = false; for (int i = h[t]; i != -1; i = ne[i]) {
int j = e[i]; if (dist[j] > dist[t] + w[i]) { dist[j] = dist[t] + w[i]; cnt[j]
= cnt[t] + 1; if (cnt[j] >= n) return true; //
如果从1号点到x的最短路中包含至少n个点（不包括自己），则说明存在环 if (!st[j]) { q.push(j); st[j] = true; } } }
} return false; }
floyd算法 —— 模板题 AcWing 854. Floyd求最短路
时间复杂度是 O(n3) n表示点数
初始化： for (int i = 1; i <= n; i ++ ) for (int j = 1; j <= n; j ++ ) if (i == j)
d[i][j] = 0; else d[i][j] = INF; // 算法结束后，d[a][b]表示a到b的最短距离 void floyd() { for
(int k = 1; k <= n; k ++ ) for (int i = 1; i <= n; i ++ ) for (int j = 1; j <=
n; j ++ ) d[i][j] = min(d[i][j], d[i][k] + d[k][j]); }
朴素版prim算法 —— 模板题 AcWing 858. Prim算法求最小生成树
时间复杂度是 O(n2+m), n表示点数，m表示边数
int n; // n表示点数 int g[N][N]; // 邻接矩阵，存储所有边 int dist[N]; // 存储其他点到当前最小生成树的距离
bool st[N]; // 存储每个点是否已经在生成树中 // 如果图不连通，则返回INF(值是0x3f3f3f3f), 否则返回最小生成树的树边权重之和
int prim() { memset(dist, 0x3f, sizeof dist); int res = 0; for (int i = 0; i <
n; i ++ ) { int t = -1; for (int j = 1; j <= n; j ++ ) if (!st[j] && (t == -1
|| dist[t] > dist[j])) t = j; if (i && dist[t] == INF) return INF; if (i) res
+= dist[t]; st[t] = true; for (int j = 1; j <= n; j ++ ) dist[j] = min(dist[j],
g[t][j]); } return res; }
Kruskal算法 —— 模板题 AcWing 859. Kruskal算法求最小生成树
时间复杂度是 O(mlogm), n表示点数，m表示边数
int n, m; // n是点数，m是边数 int p[N]; // 并查集的父节点数组 struct Edge // 存储边 { int a, b,
w; bool operator< (const Edge &W)const { return w < W.w; } }edges[M]; int
find(int x) // 并查集核心操作 { if (p[x] != x) p[x] = find(p[x]); return p[x]; } int
kruskal() { sort(edges, edges + m); for (int i = 1; i <= n; i ++ ) p[i] = i; //
初始化并查集 int res = 0, cnt = 0; for (int i = 0; i < m; i ++ ) { int a =
edges[i].a, b = edges[i].b, w = edges[i].w; a = find(a), b = find(b); if (a !=
b) // 如果两个连通块不连通，则将这两个连通块合并 { p[a] = b; res += w; cnt ++ ; } } if (cnt < n - 1)
return INF; return res; }
染色法判别二分图 —— 模板题 AcWing 860. 染色法判定二分图
时间复杂度是 O(n+m), n表示点数，m表示边数
int n; // n表示点数 int h[N], e[M], ne[M], idx; // 邻接表存储图 int color[N]; //
表示每个点的颜色，-1表示未染色，0表示白色，1表示黑色 // 参数：u表示当前节点，c表示当前点的颜色 bool dfs(int u, int c) {
color[u] = c; for (int i = h[u]; i != -1; i = ne[i]) { int j = e[i]; if
(color[j] == -1) { if (!dfs(j, !c)) return false; } else if (color[j] == c)
return false; } return true; } bool check() { memset(color, -1, sizeof color);
bool flag = true; for (int i = 1; i <= n; i ++ ) if (color[i] == -1) if
(!dfs(i, 0)) { flag = false; break; } return flag; }
匈牙利算法 —— 模板题 AcWing 861. 二分图的最大匹配
时间复杂度是 O(nm), n表示点数，m表示边数
int n1, n2; // n1表示第一个集合中的点数，n2表示第二个集合中的点数 int h[N], e[M], ne[M], idx; //
邻接表存储所有边，匈牙利算法中只会用到从第一个集合指向第二个集合的边，所以这里只用存一个方向的边 int match[N]; //
存储第二个集合中的每个点当前匹配的第一个集合中的点是哪个 bool st[N]; // 表示第二个集合中的每个点是否已经被遍历过 bool find(int
x) { for (int i = h[x]; i != -1; i = ne[i]) { int j = e[i]; if (!st[j]) { st[j]
= true; if (match[j] == 0 || find(match[j])) { match[j] = x; return true; } } }
return false; } // 求最大匹配数，依次枚举第一个集合中的每个点能否匹配第二个集合中的点 int res = 0; for (int i =
1; i <= n1; i ++ ) { memset(st, false, sizeof st); if (find(i)) res ++ ; }