void quick_sort(int q[], int l, int r) {     if (l >= r) return;     int i = l
- 1, j = r + 1, x = q[l + r >> 1];     while (i < j)     {         do i ++ ;
while (q[i] < x);         do j -- ; while (q[j] > x);         if (i < j)
swap(q[i], q[j]);     }     quick_sort(q, l, j), quick_sort(q, j + 1, r); }

void merge_sort(int q[], int l, int r) {     if (l >= r) return;     int mid =
l + r >> 1;     merge_sort(q, l, mid);     merge_sort(q, mid + 1, r);     int k
= 0, i = l, j = mid + 1;     while (i <= mid && j <= r)         if (q[i] <=
q[j]) tmp[k ++ ] = q[i ++ ];         else tmp[k ++ ] = q[j ++ ];     while (i
<= mid) tmp[k ++ ] = q[i ++ ];     while (j <= r) tmp[k ++ ] = q[j ++ ];
for (i = l, j = 0; i <= r; i ++, j ++ ) q[i] = tmp[j]; }

bool check(int x) {/* ... */} // 检查x是否满足某种性质 // 区间[l, r]被划分成[l, mid]和[mid + 1,
r]时使用： int bsearch_1(int l, int r) {     while (l < r)     {         int mid =
l + r >> 1;         if (check(mid)) r = mid;    // check()判断mid是否满足性质
else l = mid + 1;     }     return l; }
// 区间[l, r]被划分成[l, mid - 1]和[mid, r]时使用：
int bsearch_2(int l, int r) {     while (l < r)     {         int mid = l + r
+ 1 >> 1;         if (check(mid)) l = mid;         else r = mid - 1;     }
return l; }

bool check(double x) {/* ... */} // 检查x是否满足某种性质 double bsearch_3(double l,
double r) {     const double eps = 1e-6;   // eps 表示精度，取决于题目对精度的要求     while (r
- l > eps)     {         double mid = (l + r) / 2;         if (check(mid)) r =
mid;         else l = mid;     }     return l; }

// C = A + B, A >= 0, B >= 0 vector<int> add(vector<int> &A, vector<int> &B) {
if (A.size() < B.size()) return add(B, A);     vector<int> C;     int t =
0;     for (int i = 0; i < A.size(); i ++ )     {         t += A[i];         if
(i < B.size()) t += B[i];         C.push_back(t % 10);         t /= 10;     }
if (t) C.push_back(t);     return C; }

// C = A - B, 满足A >= B, A >= 0, B >= 0 vector<int> sub(vector<int> &A,
vector<int> &B) {     vector<int> C;     for (int i = 0, t = 0; i < A.size(); i
++ )     {         t = A[i] - t;         if (i < B.size()) t -= B[i];
C.push_back((t + 10) % 10);         if (t < 0) t = 1;         else t =
0;     }     while (C.size() > 1 && C.back() == 0) C.pop_back();     return C; }

// C = A * b, A >= 0, b >= 0 vector<int> mul(vector<int> &A, int b) {
vector<int> C;     int t = 0;     for (int i = 0; i < A.size() || t; i ++ )
{         if (i < A.size()) t += A[i] * b;         C.push_back(t % 10);
t /= 10;     }     while (C.size() > 1 && C.back() == 0) C.pop_back();
return C; }

// A / b = C ... r, A >= 0, b > 0 vector<int> div(vector<int> &A, int b, int
&r) {     vector<int> C;     r = 0;     for (int i = A.size() - 1; i >= 0; i --
)     {         r = r * 10 + A[i];         C.push_back(r / b);         r %= b;
}     reverse(C.begin(), C.end());     while (C.size() > 1 && C.back() ==
0) C.pop_back();     return C; }

S[i] = a[1] + a[2] + ... a[i]

a[l] + ... + a[r] = S[r] - S[l - 1]

S[i, j] = 第i行j列格子左上部分所有元素的和

S[x2, y2] - S[x1 - 1, y2] - S[x2, y1 - 1] + S[x1 - 1, y1 - 1]

S[x1, y1] += c, S[x2 + 1, y1] -= c, S[x1, y2 + 1] -= c, S[x2 + 1, y2 + 1] += c

for (int i = 0, j = 0; i < n; i ++ ) {     while (j < i && check(i, j)) j ++ ;
// 具体问题的逻辑 }

(1) 对于一个序列，用两个指针维护一段区间

(2) 对于两个序列，维护某种次序，比如归并排序中合并两个有序序列的操作

vector<int> alls; // 存储所有待离散化的值 sort(alls.begin(), alls.end()); // 将所有值排序
alls.erase(unique(alls.begin(), alls.end()), alls.end());   // 去掉重复元素 //

- 1;     while (l < r)     {         int mid = l + r >> 1;         if
(alls[mid] >= x) r = mid;         else l = mid + 1;     }     return r + 1; //

// 将所有存在交集的区间合并 void merge(vector<PII> &segs) {     vector<PII> res;
sort(segs.begin(), segs.end());     int st = -2e9, ed = -2e9;     for (auto
seg : segs)         if (ed < seg.first)         {             if (st != -2e9)
res.push_back({st, ed});             st = seg.first, ed = seg.second;         }
else ed = max(ed, seg.second);     if (st != -2e9) res.push_back({st,
ed});     segs = res; }

idx; // 初始化 void init() {     head = -1;     idx = 0; } // 在链表头插入一个数a void
insert(int a) {     e[idx] = a, ne[idx] = head, head = idx ++ ; } //

// e[]表示节点的值，l[]表示节点的左指针，r[]表示节点的右指针，idx表示当前用到了哪个节点 int e[N], l[N], r[N], idx;
// 初始化 void init() {     //0是左端点，1是右端点     r[0] = 1, l[1] = 0;     idx = 2; }
// 在节点a的右边插入一个数x void insert(int a, int x) {     e[idx] = x;     l[idx] = a,
r[idx] = r[a];     l[r[a]] = idx, r[a] = idx ++ ; } // 删除节点a void remove(int a)
{     l[r[a]] = l[a];     r[l[a]] = r[a]; }

// tt表示栈顶 int stk[N], tt = 0; // 向栈顶插入一个数 stk[ ++ tt] = x; // 从栈顶弹出一个数 tt -- ;
// 栈顶的值 stk[tt]; // 判断栈是否为空，如果 tt > 0，则表示不为空 if (tt > 0) { }

1. 普通队列：
// hh 表示队头，tt表示队尾 int q[N], hh = 0, tt = -1; // 向队尾插入一个数 q[ ++ tt] = x; //

2. 循环队列
// hh 表示队头，tt表示队尾的后一个位置 int q[N], hh = 0, tt = 0; // 向队尾插入一个数 q[tt ++ ] = x;
if (tt == N) tt = 0; // 从队头弹出一个数 hh ++ ; if (hh == N) hh = 0; // 队头的值 q[hh]; //

int tt = 0; for (int i = 1; i <= n; i ++ ) {     while (tt && check(stk[tt],
i)) tt -- ;     stk[ ++ tt] = i; }

int hh = 0, tt = -1; for (int i = 0; i < n; i ++ ) {     while (hh <= tt &&
check_out(q[hh])) hh ++ ;  // 判断队头是否滑出窗口     while (hh <= tt && check(q[tt],
i)) tt -- ;     q[ ++ tt] = i; }
KMP —— 模板题 AcWing 831. KMP字符串

// s[]是长文本，p[]是模式串，n是s的长度，m是p的长度

for (int i = 2, j = 0; i <= m; i ++ ) {     while (j && p[i] != p[j + 1]) j =
ne[j];     if (p[i] == p[j + 1]) j ++ ;     ne[i] = j; } // 匹配 for (int i = 1,
j = 0; i <= n; i ++ ) {     while (j && s[i] != p[j + 1]) j = ne[j];     if
(s[i] == p[j + 1]) j ++ ;     if (j == m)     {         j = ne[j];         //

Trie树 —— 模板题 AcWing 835. Trie字符串统计
int son[N][26], cnt[N], idx; // 0号点既是根节点，又是空节点 // son[][]存储树中每个节点的子节点 //
cnt[]存储以每个节点结尾的单词数量 // 插入一个字符串 void insert(char *str) {     int p = 0;     for
(int i = 0; str[i]; i ++ )     {         int u = str[i] - 'a';         if
(!son[p][u]) son[p][u] = ++ idx;         p = son[p][u];     }     cnt[p] ++ ; }
// 查询字符串出现的次数 int query(char *str) {     int p = 0;     for (int i = 0; str[i];
i ++ )     {         int u = str[i] - 'a';         if (!son[p][u]) return 0;
p = son[p][u];     }     return cnt[p]; }

(1)朴素并查集：
int p[N]; //存储每个点的祖宗节点 // 返回x的祖宗节点 int find(int x) { if (p[x] != x) p[x] =
find(p[x]); return p[x]; } // 初始化，假定节点编号是1~n for (int i = 1; i <= n; i ++ )
p[i] = i; // 合并a和b所在的两个集合： p[find(a)] = find(b);
(2)维护size的并查集：
int p[N], size[N];     //p[]存储每个点的祖宗节点, size[]只有祖宗节点的有意义，表示祖宗节点所在集合中的点的数量
// 返回x的祖宗节点     int find(int x)     {         if (p[x] != x) p[x] =
find(p[x]);         return p[x];     }     // 初始化，假定节点编号是1~n     for (int i =
1; i <= n; i ++ )     {         p[i] = i;         size[i] = 1;     }     //

(3)维护到祖宗节点距离的并查集：
int p[N], d[N];     //p[]存储每个点的祖宗节点, d[x]存储x到p[x]的距离     // 返回x的祖宗节点
int find(int x)     {         if (p[x] != x)         {             int u =
find(p[x]);             d[x] += d[p[x]];             p[x] = u;         }
return p[x];     }     // 初始化，假定节点编号是1~n     for (int i = 1; i <= n; i
++ )     {         p[i] = i;         d[i] = 0;     }     // 合并a和b所在的两个集合：
p[find(a)] = find(b);     d[find(a)] = distance; // 根据具体问题，初始化find(a)的偏移量

// h[N]存储堆中的值, h[1]是堆顶，x的左儿子是2x, 右儿子是2x + 1 // ph[k]存储第k个插入的点在堆中的位置 //
hp[k]存储堆中下标是k的点是第几个插入的 int h[N], ph[N], hp[N], size; // 交换两个点，及其映射关系 void
heap_swap(int a, int b) {     swap(ph[hp[a]],ph[hp[b]]);     swap(hp[a],
hp[b]);     swap(h[a], h[b]); } void down(int u) {     int t = u;     if (u * 2
<= size && h[u * 2] < h[t]) t = u * 2;     if (u * 2 + 1 <= size && h[u * 2 +
1] < h[t]) t = u * 2 + 1;     if (u != t)     {         heap_swap(u, t);
down(t);     } } void up(int u) {     while (u / 2 && h[u] < h[u / 2])
{         heap_swap(u, u / 2);         u >>= 1;     } } // O(n)建堆 for (int
i = n / 2; i; i -- ) down(i);

(1) 拉链法
int h[N], e[N], ne[N], idx;     // 向哈希表中插入一个数     void insert(int x)     {
int k = (x % N + N) % N;         e[idx] = x;         ne[idx] = h[k];
h[k] = idx ++ ;     }     // 在哈希表中查询某个数是否存在     bool find(int x)     {
int k = (x % N + N) % N;         for (int i = h[k]; i != -1; i = ne[i])
if (e[i] == x)                 return true;         return false;
}
(2) 开放寻址法
int h[N];     // 如果x在哈希表中，返回x的下标；如果x不在哈希表中，返回x应该插入的位置     int find(int x)
{         int t = (x % N + N) % N;         while (h[t] != null && h[t] !=
x)         {             t++ ;             if (t == N) t = 0;         }
return t;     }

typedef unsigned long long ULL; ULL h[N], p[N]; // h[k]存储字符串前k个字母的哈希值, p[k]存储
P^k mod 2^64 // 初始化 p[0] = 1; for (int i = 1; i <= n; i ++ ) {     h[i] = h[i -
1] * P + str[i];     p[i] = p[i - 1] * P; } // 计算子串 str[l ~ r] 的哈希值 ULL get(int
l, int r) {     return h[r] - h[l - 1] * p[r - l + 1]; }
C++ STL简介
vector, 变长数组，倍增的思想     size()  返回元素个数     empty()  返回是否为空     clear()  清空
front()/back()     push_back()/pop_back()     begin()/end()     支持比较运算，按字典序
pair<int, int>     first, 第一个元素     second, 第二个元素
支持比较运算，以first为第一关键字，以second为第二关键字（字典序） string，字符串     size()/length()
返回字符串长度     empty()     clear()     substr(起始下标，(子串长度))  返回子串     c_str()
返回字符串所在字符数组的起始地址 queue, 队列     size()     empty()     push()  向队尾插入一个元素
front()  返回队头元素     back()  返回队尾元素     pop()  弹出队头元素 priority_queue,

pop()  弹出堆顶元素     定义成小根堆的方式：priority_queue<int, vector<int>, greater<int>>
q; stack, 栈     size()     empty()     push()  向栈顶插入一个元素     top()  返回栈顶元素
pop()  弹出栈顶元素 deque, 双端队列     size()     empty()     clear()
front()/back()     push_back()/pop_back()     push_front()/pop_front()
begin()/end() set, map, multiset, multimap, 基于平衡二叉树（红黑树），动态维护有序序列
size()     empty()     clear()     begin()/end()     ++, -- 返回前驱和后继，时间复杂度
O(logn)    set/multiset         insert()  插入一个数         find()  查找一个数
count()  返回某一个数的个数         erase()             (1) 输入是一个数x，删除所有x   O(k
+ logn)             (2) 输入一个迭代器，删除这个迭代器         lower_bound()/upper_bound()
lower_bound(x)  返回大于等于x的最小的数的迭代器             upper_bound(x)
返回大于x的最小的数的迭代器     map/multimap         insert()  插入的数是一个pair         erase()
输入的参数是pair或者迭代器         find()         注意multimap不支持此操作。 时间复杂度是 O(logn)
lower_bound()/upper_bound() unordered_set, unordered_map,
unordered_multiset, unordered_multimap, 哈希表     和上面类似，增删改查的时间复杂度是 O(1)     不支持
lower_bound()/upper_bound()， 迭代器的++，-- bitset, 圧位     bitset<10000> s;     ~,
&, |, ^     >>, <<     ==, !=     count()  返回有多少个1     any()  判断是否至少有一个1
none()  判断是否全为0     set()  把所有位置成1     set(k, v)  将第k位变成v     reset()  把所有位变成0
flip()  等价于~     flip(k) 把第k位取反

(1) 邻接矩阵：g[a][b] 存储边a->b

(2) 邻接表：
// 对于每个点k，开一个单链表，存储k所有可以走到的点。h[k]存储这个单链表的头结点 int h[N], e[N], ne[N], idx; //

++ ; } // 初始化 idx = 0; memset(h, -1, sizeof h);

n表示点数，m表示边数
(1) 深度优先遍历 —— 模板题 AcWing 846. 树的重心
int dfs(int u) { st[u] = true; // st[u] 表示点u已经被遍历过 for (int i = h[u]; i != -1;
i = ne[i]) { int j = e[i]; if (!st[j]) dfs(j); } }
(2) 宽度优先遍历 —— 模板题 AcWing 847. 图中点的层次
queue<int> q; st[1] = true; // 表示1号点已经被遍历过 q.push(1); while (q.size()) { int t
= q.front(); q.pop(); for (int i = h[t]; i != -1; i = ne[i]) { int j = e[i]; if
(!st[j]) { st[j] = true; // 表示点j已经被遍历过 q.push(j); } } }

n表示点数，m表示边数
bool topsort() { int hh = 0, tt = -1; // d[i] 存储点i的入度 for (int i = 1; i <= n;
i ++ ) if (!d[i]) q[ ++ tt] = i; while (hh <= tt) { int t = q[hh ++ ]; for (int
i = h[t]; i != -1; i = ne[i]) { int j = e[i]; if (-- d[j] == 0) q[ ++ tt] = j;
} } // 如果所有点都入队了，说明存在拓扑序列；否则不存在拓扑序列。 return tt == n - 1; }

n表示点数，m表示边数
int g[N][N]; // 存储每条边 int dist[N]; // 存储1号点到每个点的最短距离 bool st[N]; //

sizeof dist); dist[1] = 0; for (int i = 0; i < n - 1; i ++ ) { int t = -1; //

dist[t] > dist[j])) t = j; // 用t更新其他点的距离 for (int j = 1; j <= n; j ++ ) dist[j]
= min(dist[j], dist[t] + g[t][j]); st[t] = true; } if (dist[n] == 0x3f3f3f3f)
return -1; return dist[n]; }

n表示点数，m 表示边数
typedef pair<int, int> PII; int n; // 点的数量 int h[N], w[N], e[N], ne[N], idx;
// 邻接表存储所有边 int dist[N]; // 存储所有点到1号点的距离 bool st[N]; // 存储每个点的最短距离是否已确定 //

dist[1] = 0; priority_queue<PII, vector<PII>, greater<PII>> heap; heap.push({0,
1}); // first存储距离，second存储节点编号 while (heap.size()) { auto t = heap.top();
heap.pop(); int ver = t.second, distance = t.first; if (st[ver]) continue;
st[ver] = true; for (int i = h[ver]; i != -1; i = ne[i]) { int j = e[i]; if
(dist[j] > distance + w[i]) { dist[j] = distance + w[i]; heap.push({dist[j],
j}); } } } if (dist[n] == 0x3f3f3f3f) return -1; return dist[n]; }
Bellman-Ford算法 —— 模板题 AcWing 853. 有边数限制的最短路

n表示点数，m表示边数

int n, m; // n表示点数，m表示边数 int dist[N]; // dist[x]存储1到x的最短路距离 struct Edge //

int bellman_ford() { memset(dist, 0x3f, sizeof dist); dist[1] = 0; //

= 0; i < n; i ++ ) { for (int j = 0; j < m; j ++ ) { int a = edges[j].a, b =
edges[j].b, w = edges[j].w; if (dist[b] > dist[a] + w) dist[b] = dist[a] + w; }
} if (dist[n] > 0x3f3f3f3f / 2) return -1; return dist[n]; }
spfa 算法（队列优化的Bellman-Ford算法） —— 模板题 AcWing 851. spfa求最短路

int n; // 总点数 int h[N], w[N], e[N], ne[N], idx; // 邻接表存储所有边 int dist[N]; //

int spfa() { memset(dist, 0x3f, sizeof dist); dist[1] = 0; queue<int> q;
q.push(1); st[1] = true; while (q.size()) { auto t = q.front(); q.pop(); st[t]
= false; for (int i = h[t]; i != -1; i = ne[i]) { int j = e[i]; if (dist[j] >
dist[t] + w[i]) { dist[j] = dist[t] + w[i]; if (!st[j]) // 如果队列中已存在j，则不需要将j重复插入
{ q.push(j); st[j] = true; } } } } if (dist[n] == 0x3f3f3f3f) return -1; return
dist[n]; }
spfa判断图中是否存在负环 —— 模板题 AcWing 852. spfa判断负环

int n; // 总点数 int h[N], w[N], e[N], ne[N], idx; // 邻接表存储所有边 int dist[N],
cnt[N]; // dist[x]存储1号点到x的最短距离，cnt[x]存储1到x的最短路中经过的点数 bool st[N]; // 存储每个点是否在队列中
// 如果存在负环，则返回true，否则返回false。 bool spfa() { // 不需要初始化dist数组 //

(int i = 1; i <= n; i ++ ) { q.push(i); st[i] = true; } while (q.size()) { auto
t = q.front(); q.pop(); st[t] = false; for (int i = h[t]; i != -1; i = ne[i]) {
int j = e[i]; if (dist[j] > dist[t] + w[i]) { dist[j] = dist[t] + w[i]; cnt[j]
= cnt[t] + 1; if (cnt[j] >= n) return true; //

} return false; }
floyd算法 —— 模板题 AcWing 854. Floyd求最短路

d[i][j] = 0; else d[i][j] = INF; // 算法结束后，d[a][b]表示a到b的最短距离 void floyd() { for
(int k = 1; k <= n; k ++ ) for (int i = 1; i <= n; i ++ ) for (int j = 1; j <=
n; j ++ ) d[i][j] = min(d[i][j], d[i][k] + d[k][j]); }

int n; // n表示点数 int g[N][N]; // 邻接矩阵，存储所有边 int dist[N]; // 存储其他点到当前最小生成树的距离
bool st[N]; // 存储每个点是否已经在生成树中 // 如果图不连通，则返回INF(值是0x3f3f3f3f), 否则返回最小生成树的树边权重之和
int prim() { memset(dist, 0x3f, sizeof dist); int res = 0; for (int i = 0; i <
n; i ++ ) { int t = -1; for (int j = 1; j <= n; j ++ ) if (!st[j] && (t == -1
|| dist[t] > dist[j])) t = j; if (i && dist[t] == INF) return INF; if (i) res
+= dist[t]; st[t] = true; for (int j = 1; j <= n; j ++ ) dist[j] = min(dist[j],
g[t][j]); } return res; }
Kruskal算法 —— 模板题 AcWing 859. Kruskal算法求最小生成树

int n, m; // n是点数，m是边数 int p[N]; // 并查集的父节点数组 struct Edge // 存储边 { int a, b,
w; bool operator< (const Edge &W)const { return w < W.w; } }edges[M]; int
find(int x) // 并查集核心操作 { if (p[x] != x) p[x] = find(p[x]); return p[x]; } int
kruskal() { sort(edges, edges + m); for (int i = 1; i <= n; i ++ ) p[i] = i; //

edges[i].a, b = edges[i].b, w = edges[i].w; a = find(a), b = find(b); if (a !=
b) // 如果两个连通块不连通，则将这两个连通块合并 { p[a] = b; res += w; cnt ++ ; } } if (cnt < n - 1)
return INF; return res; }

int n; // n表示点数 int h[N], e[M], ne[M], idx; // 邻接表存储图 int color[N]; //

color[u] = c; for (int i = h[u]; i != -1; i = ne[i]) { int j = e[i]; if
(color[j] == -1) { if (!dfs(j, !c)) return false; } else if (color[j] == c)
return false; } return true; } bool check() { memset(color, -1, sizeof color);
bool flag = true; for (int i = 1; i <= n; i ++ ) if (color[i] == -1) if
(!dfs(i, 0)) { flag = false; break; } return flag; }

int n1, n2; // n1表示第一个集合中的点数，n2表示第二个集合中的点数 int h[N], e[M], ne[M], idx; //

x) { for (int i = h[x]; i != -1; i = ne[i]) { int j = e[i]; if (!st[j]) { st[j]
= true; if (match[j] == 0 || find(match[j])) { match[j] = x; return true; } } }
return false; } // 求最大匹配数，依次枚举第一个集合中的每个点能否匹配第二个集合中的点 int res = 0; for (int i =
1; i <= n1; i ++ ) { memset(st, false, sizeof st); if (find(i)) res ++ ; }

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