<>有约束优化问题

第一篇文章讲述了,怎么从二次多项式获得QUBO,获得QUBO后,量子退火法就可以直接给你最优解(没有特殊说明的话,所有的变量都是0或1)。其实,实际问题一般都是有约束的,比如上篇的例题加上约束条件后。


这种带约束的优化问题,我们要求出满足约束条件下的令H值最小的,(x1,x2)的组合。没有约束的情况,(x1,x2)的组合和H的取值如下表,最优解为(x1,x2)=(0,1):

从上面的表中可以看到,因为需要满足约束条件,最优解变为(x1,x2)=(0,0)。这道例题变量比较少,可以很快找到满足约束条件的最优解。

其实,正常有约束的优化问题会变换成下面的形式,然后求解。

其中惩罚函数g()就是从约束条件获得。怎么把约束条件转化为惩罚函数呢?答案就是,把约束条件转化为对应的**【哈密顿算符(Hamiltonian) 】**

<>约束条件转换为【哈密顿算符H】

我们可以这么想,如果有一个二次多项式,让它取最小值的解,刚好是某个【哈密顿算符H】的最小值(H=0)的解。以上面的约束条件为例:
x 1 ⩾ x 2 x1 \geqslant x2 x1⩾x2
那么满足约束条件的(x1, x2)有[ (0, 0), (1, 0), (1, 1)
]三个组合。逆向思维,这三个组合会是哪个【哈密顿算符H】的最小值的解呢?有兴趣的读者可以自己想一想,这里我直接给出答案。

上面H=0的解,就是满足约束条件的,(x1, x2)=[ (0, 0), (1, 0), (1, 1) ]。对应的QUBO矩阵就是。

这时候带有惩罚函数项的新的H变为:

很多读者到这里,就会有疑问,每次都要把二次多项式写成QUBO矩阵的话,很麻烦。能不能直接输入二项式呢?答案是,可以的。

<>Pyqubo:自动把二次多项式转换为QUBO
# neal是模拟退火的库 import neal # pyqubo 可以使用Binary定义变量,Constarint定义约束 from pyqubo
import Binary, Constraint x1, x2 = Binary('x1'), Binary('x2') # M是约束强度 M = 5.0
#定义哈密顿算符H H = 3 * x1**2 - 2 * x2**2 + M * Constraint((x2 - x1*x2), label=
'x1>=x2') model = H.compile() # 无视offset就行了,QUBO用来做模拟退火的输入 qubo, offset = model.
to_qubo() sampler = neal.SimulatedAnnealingSampler() raw_solution = sampler.
sample_qubo(qubo) raw_solution.first.sample >>> {'x1': 0, 'x2': 0}
我们可以看到,最后的结果是(x1, x2)=(0, 0)。确实是最优解。但是M值(就是前面公式里的 λ \lambda λ)如果太小,可能得不到最优解。

<>常见条件约束对应的H

前任栽树,后人乘凉,常见的约束条件对应的H如下表所示:

本文介绍了,如何添加约束条件到目标函数中,下篇讲一个经典的旅行商最短路径问题如何建模,求解。

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