python计算微积分
本文将使用sympy库计算微积分pip install sympy

符号说明: 默认导入库的方式为from sympy import *

<>一.计算极限

limit(f,x,h)f是表达式,x是对谁求极限,h是x趋于多少
lim ⁡ x → 0 sin ⁡ x − tan ⁡ x + e tan ⁡ x − 1 x − tan ⁡ x + sin ⁡ x \\
\lim_{x\rightarrow 0} \frac{\sin x-\tan x+e^{\tan x}-1}{x-\tan x+\sin x} \\x→0
lim​x−tanx+sinxsinx−tanx+etanx−1​
from sympy import * x=Symbol("x") f=(sin(x)-tan(x)+exp(tan(x))-1)/(x-tan(x)+sin
(x)) limit(f,x,0)#如果没有输出结果请print(limit(f,x,0))
输出结果为1

<>二.求导数

<>1.求一阶导数

求 x 4 + x 3 + x + 1 的一阶导数 求 x^4+x^3+x+1的一阶导数 求x4+x3+x+1的一阶导数
from sympy import * x=Symbol("x") expr=x**4+x**3+x+1 expr.diff(x)
#注意如果没有输出任何内容,请使用print(expr.diff(x)),以下同理
<>2.求高阶导数


求 sin ⁡ x 的 100 阶导数 求 \sin x的100阶导数 求sinx的100阶导数
from sympy import * x=Symbol("x") expr=sin(x) expr.diff(x,100)
<>3.多元函数求导

f ( x , y ) = ( x + 1 ) 3 y 2 ( z − 1 ) ( 其中 z 是常数 ) 求 : ∂ 2 f ( x , y ) ∂ x
∂ y f\left( x,y \right) =\left( x+1 \right) ^3y^2\left( z-1 \right) \left(
\text{其中}z\text{是常数} \right) \\ \text{求}:\frac{\partial ^2f\left( x,y
\right)}{\partial x\partial y}f(x,y)=(x+1)3y2(z−1)(其中z是常数)求:∂x∂y∂2f(x,y)​
#多元函数 from sympy import * x=Symbol("x") y=Symbol('y') z=Symbol("z") expr=(x+1)
**3*y**2*(z-1) expr.diff(x,y)
<>4.多元函数求高阶导数

f ( x , y ) = ( x + 1 ) 3 y 2 ( z − 1 ) ( 其中 z 是常数 ) 求 : ∂ 3 f ( x , y ) ∂ x
2 ∂ y f\left( x,y \right) =\left( x+1 \right) ^3y^2\left( z-1 \right) \left(
\text{其中}z\text{是常数} \right) \\ \text{求}:\frac{\partial ^3f\left( x,y
\right)}{\partial x^2\partial y}f(x,y)=(x+1)3y2(z−1)(其中z是常数)求:∂x2∂y∂3f(x,y)​
from sympy import * x=Symbol("x") y=Symbol('y') z=Symbol("z") expr=(x+1)**3*y**
2*(z-1) expr.diff(x,2,y,1)#注意这里2和1的位置
<>三.计算积分

<>1.不定积分

计算 ∫ x 5 sin ⁡ x d x \text{计算}\int{x^5\sin x}dx 计算∫x5sinxdx
from sympy import * x=Symbol("x") expr=x**5*sin(x) integrate(expr,x)
#如果输出为空,就换为print(integrate(expr,x))
<>2.计算定积分

∫ 0 ∞ ln ⁡ x sin ⁡ x d x \int_0^{\infty}{\ln x\sin x}dx ∫0∞​lnxsinxdx

无穷大的表示:oo(没错就是两个o)


from sympy import * x=Symbol("x") expr=log(x)*sin(x) integrate(expr,(x,0,oo))
抱歉,他不收敛,返回我输入的表达式了,我们换一个

计算: ∫ 0 ∞ a sin ⁡ ( x cos ⁡ x ) d x \displaystyle\int_0^{\infty}{a\sin \left(
x\cos x \right)}dx∫0∞​asin(xcosx)dx,其中a为常数

呃呃呃,这个有点难算,又返回原函数了,但是这个是发散的吗?

我有点不服啊,掏出我的Wolfram Mathematic试试,好吧,咱也看不懂,总之就是这样计算的

<>3.计算二重积分

∬ ( x + sin ⁡ y ) e x d x d y \iint{\left( x+\sin y \right) e^xdxdy} ∬(x+siny)
exdxdy
from sympy import * x=Symbol("x") y=Symbol("y") expr=(x+sin(y))*exp(x)
integrate(expr,x,y) $$ \int_0^1{\int_0^1{\left( x+\sin y \right) e^xdxdy}} $$
from sympy import * x=Symbol("x") y=Symbol("y") expr=(x+sin(y))*exp(x) integrate
(expr,(x,0,1),(y,0,1))
<>四.级数展开

cos ⁡ x 在 x = 0 处 3 阶展开 \cos x\text{在}x=0\text{处}3\text{阶展开} cosx在x=0处3阶展开
from sympy import * x=Symbol("x") cos(x).series(x,0,n=3)#偶数项展开为0,所以只有两项
我们可以不写后面的0和n,因为默认是在0处展开:

e x e^x ex的泰勒展开
from sympy import * x=Symbol("x") # cos(x).series(x,0,n=3) exp(x).series(x)

<>任意表达式的展开

f ( x ) = cos ⁡ ( x ) 1 + sin ⁡ ( x y ) 在 x = 0 处展开四阶 f\left( x \right)
=\frac{\cos \left( x \right)}{1+\sin \left( xy \right)}\text{在}x=0\text{处展开四阶}f(
x)=1+sin(xy)cos(x)​在x=0处展开四阶
from sympy import * x,y=symbols("x,y")#注意这里是symbols expr=cos(x)/(1+sin(x*y))
expr.series(x,n=4)

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