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本文参考的是司守奎，孙兆亮主编的数学建模算法与应用（第二版）
灰色预测的主要特点时模型使用的不是原始数据序列，而是生成的数据序列。其核心体系时灰色模型，即对原数据作累加生成得到近似指数规律再进行建模的方法。
优点：不需要很多数据，一般只需要4个数据，就能够解决历史数据少。序列的完整性及可靠性低的问题，能利用微分方程充分挖掘系统的本质，精度高；能将无规律的原始数据进行生成得到规律性较强的生成序列，运算简便，便于检验，不考虑分布规律，不考虑变化趋势。
缺点:只使用于中短期的预测，只适合指数增长的预测。
这里主要介绍GM（1，1）预测模型
模型建立过程：
下面介绍使用GM(1,1)的一般步骤。
1.数据的检验与处理，需要进行数据的级比校验，只有级比校验通过才适合灰色预测，要是没通过，可以通过取适当的常数c作平移变换（不过我觉得，没通过就别用了吧）。
2.建立模型
3.检验预测值。残差检验和级比残差值检验都通过模型才视作有效。
4.使用模型预测
由于灰色预测模型是根据序列来预测的，预测希望预测第几个值，直接输入对于序列即可。
下面展示一道例题。
1.数据的检验与处理
x0 = [71.1 72.4 72.4 72.1 71.4 72.0 71.6]';% 这里为列向量 n = length(x0); lamda = x0(
1:n-1)./x0(2:n); %计算级比（前一个数/后一个数，共六个） range = minmax(lamda')%级比范围 range_min =
exp(-2/(n+1)); range_max = exp(2/(n+2)); if range_min <= range(1) && range_max
>= range(2) fprintf("级比检验通过") else fprintf("级比检验失败") end
2.建立模型
x1 = cumsum(x0); %累加计算x(1) B = [-0.5*(x1(1:n-1) + x1(2:n)), ones(n-1,1)]; Y =
x0(2:n); u = B\Y syms x(t) x = dsolve(diff(x) + u(1)*x == u(2), x(0) == x0(1));%
求微分方程的符号解 xt= vpa(x, 6) %以小数格式显示微分方程的解 yucel = subs(x,t,[0:n-1]);%求已知数据的预测值
yucel= double(yucel);%符号数转换成数值类型，否则无法做差分运算 yuce = [x0(1), diff(yucel)] %
差分运算，还原数据
3.检验预测值。
epsilon = x0' - yuce;% 计算残差 delta = abs(epsilon./x0');%计算相对误差 rho = 1 - (1 -
0.5 * u(1))/(1 + 0.5 * u(1)) * lamda';%计算级比偏差值，u(1)=a
4.使用模型预测。带入模型计算即可。
m = 8 %m=用于训练模型的数据个数 + 希望往后预测的个数 y = subs(x, t, [0:m]) y = double(y); y_pre = [
x0(1), diff(y)]
matlab完整代码如下：
clc,clear x0 = [71.1 72.4 72.4 72.1 71.4 72.0 71.6]';% 这里为列向量 n = length(x0);
lamda= x0(1:n-1)./x0(2:n); %计算级比（前一个数/后一个数，共六个） range = minmax(lamda');%级比范围
range_min= exp(-2/(n+1)); range_max = exp(2/(n+2)); if range_min <= range(1) &&
range_max>= range(2) fprintf("级比检验通过") else fprintf("级比检验失败") end x1 = cumsum(x0
); %累加计算x(1) B = [-0.5*(x1(1:n-1) + x1(2:n)), ones(n-1,1)]; Y = x0(2:n); u = B\Y
; syms x(t) x = dsolve(diff(x) + u(1)*x == u(2), x(0) == x0(1));%求微分方程的符号解 xt =
vpa(x, 6) %以小数格式显示微分方程的解 yucel = subs(x,t,[0:n-1]);%求已知数据的预测值 yucel = double(
yucel);%符号数转换成数值类型，否则无法做差分运算 yuce = [x0(1), diff(yucel)] %差分运算，还原数据 epsilon =
x0'- yuce;% 计算残差 delta = abs(epsilon./x0');%计算相对误差 rho = 1 - (1 - 0.5 * u(1))/(1
+ 0.5 * u(1)) * lamda';%计算级比偏差值，u(1)=a m = 8; %m=用于训练模型的数据个数 + 希望往后预测的个数 y =
subs(x, t, [0:m]); y = double(y); y_pre = [x0(1), diff(y)]