<>sinx的泰勒展开式求解过程

思路:
sin x 可以如何 “ 展开 ”?写成式子就是:
最后以省略号结束,代表 “ 无穷 ”,需要求的就是 a0,a1,a2,…… 的值,准确地说就是通项公式。然后,我们就可以开始 “ 微分 ”
了,就是等式两边同时、不停地微分下去。左边的三角函数的微分,其实是四个一循环的:sin x ➜ cos x ➜ - sin x ➜ - cos x,再回到
sin x……我们也会注意到,凡是把右边微分后,第一项(常数)就为 0 了,也就是可以直接忽略。

这样一来,等式左边在有规律地循环着,等式右边每次都减少一项。当然,x = 0 时等式也会成立,那将 x = 0 带入,将消去所有 x 指数大于 0
的项(都是 0 啊)。这样一来,就可以顺利求出 a0,a1,a2,……啦,sin 0、cos 0、- sin 0 和 - cos x 分别是 0、+1
、0、-1(显然的规律)。上面是微分的过程,下面是对于所有系数得到的等式。

最后,等式左边是四个一循环,可以从除以 4 的余数来考虑(分类);然后,等是右边可以用字母来代替,就是 k! × ak,这里 k!
代表阶乘。所以说,我们可以得到一个看上去漂亮的结果:

如果将系数数列 a 代入,那么偶数项都会消掉(系数为 0),只剩下一加一减的奇数项了。这就是泰勒展开(其实泰勒展开有好几个,这里只是 sin x
的泰勒展开):

想法是不是很巧妙,哈哈?我也是看别人写的。其他各种复杂函数的展开式求解也采用相同的方法,很实用哦。

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