前几天文工团一道考试题火了。

三个相同的盒子里各有2个球,其中一个盒子里放了2个红球,一个盒子里放了2个蓝球,一个盒子里放了红球和蓝球各一个。随即选择一个后,从中随机摸出一球是红球,则这个盒子里另一个球是红球的概率为()。
A 1/2,B 3/4,C 2/3, D 4/5。

浙大博士质疑不应该是1/2。本来以为浙大博士出马,大部分人应该会信服,结果多数人认为是1/2,狠批浙大博士水货。看来本科率不足百分之四,国内教育任重道远呐。

这太违背我们的直觉了。让人哭笑不得的是:有些人套用公式得出2/3,但他们依旧大声的说 就 是 1/2.

好吧,我们来推翻这种直觉思维。

最简单的穷举法:摸球总共有以下六种情况:

显然符合第一次摸出为红球的只有前三种情况。第二次摸出红球的概率,就是三选二。

看了上述的情况,发现有两个篮球的箱子根本用不到。我们去掉这个箱子。

如果不加任何条件。在两者中选,选择哪个箱子的概率都是1/2.

现在加了条件了。第一次摸出个红球,求这个箱子里是两个红球的概率。原来不加条件是1/2.现在加了条件,当然不可能还是1/2了。

求解,简单的条件概率啦。
事件A={第一次摸球是红球} 事件B={第二次摸球是红球}
P(AB)=1/3 三个箱子选有两个红球的箱子的概率是1/3
P(A)=1/2 共6个球,3个红球,选红球的概率是1/2
终得P(B|A)= 2/3.

思路二,去掉含两个蓝球的箱子。
P(AB)=1/3 两个箱子选有两个红球的箱子的概率是1/2
P(A)=1/2 共4个球,3个红球,选红球的概率是3/4
依旧是P(B|A)= 2/3.

说到条件概率,不得不说贝叶斯公式

初看这两个公式没什么大不了的。高中学过的条件概率公式:事件A和事件B同时发生的概率,等于事件A发生的概率,乘以事件A发生的情况下事件B发生的概率。也等于事件B发生的概率,乘以事件B发生的情况下事件A发生的概率。

我们把第一个公式稍作变换,

再把P(AB)替换成第二个公式,得到

这个公式就是贝叶斯公式的前身。或者说最简单的贝叶斯公式。什么,贝叶斯公式就这么简单,是的,贝叶斯公式就是将原来的两个条件概率公式组合了一下。

我们再做变换,分解P(A),

P(B-)是事件B不发生的概率。

事件A发生的概率,等于事件B发生的概率乘以事件B发生的情况下,事件A发生的概率,加上事件B未发生的概率乘以事件B未发生的情况下,事件A发生的概率。也就是说不管事件B发不发生,事件A都要发生的概率。

我们结合上述两式得到:

事件B不发生,可以分解成多个事件。B1,B2,B3…

分解可以得到

用符号∑相加起来。就是最终的贝叶斯公式。

有没有发现,分子分母很相似。

我们用案例来了解一下贝叶斯公式的思想。

一户人家在过去的2年里共发生了2次被盗案件,房子的主人养了一只狗,狗每天叫五次,在盗贼入侵时狗叫的概率为0.9,求:狗叫的时候发生入侵的概率是多少?

套用贝叶斯公式:事件A={狗叫} 事件B={盗贼入侵}
P(A|B)P(B)=0.9X2/20X365 P(A)=1
终得P(B|A)=0.0005.
狗叫时,盗贼入侵得概率太低了。说明依靠狗叫来判断盗贼入侵不靠谱。这只狗是哈士奇吧。

贝叶斯就是描述有多大把握信服A事情的发生,会发生另一件事情B。

假设这户人家养了只边牧,很聪明,很少叫,一个月叫一次,盗贼入侵时,会叫的概率0.9999,几乎一定会叫。套用公式得到,狗叫的时候发生入侵的概率为0.08.
看来即使是边牧在叫时,也基本不用考虑是盗贼入侵了。虽然狗见了盗贼几乎一定会叫,但盗贼入侵的情况太罕见了。

贝叶斯公式包含的思想很多,包括极大似然估计、最大后验概率估计、先验、后验等等,这里就不涉及了。可以说吃透贝叶斯就夯实了概率论和统计的基础。

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